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Los primeros pasos en álgebra (Parte 1. El significado del signo igual )



Al comenzar el estudio del álgebra, muchos estudiantes tienen un concepto acerca del significado del signo igual que no coincide con el significado que se le da en matemáticas. Esto constituye un serio obstáculo para la comprensión del lenguaje algebraico.


Como bien lo saben los profesores y profesoras de matemáticas, para muchos estudiantes el aprendizaje inicial del álgebra trae consigo serias dificultades. A diferencia de la aritmética, que aparece como algo concreto, fácil de entender, con sentido, y con una clara relación con el mundo real, el álgebra les resulta abstracta, difícil de entender, carente de sentido y sin relación con lo cotidiano.


No se trata solo de un aprendizaje insuficiente o erróneo. Se trata de algo mucho más importante: de la dificultad para comprender y asimilar las formas básicas del razonamiento algebraico. Y esto no debe dejarnos tranquilos porque el álgebra es demasiado importante. Constituye la puerta de entrada para las matemáticas superiores. Proporciona un lenguaje que, al incorporar letras para representar cantidades indeterminadas, permite liberarse de cantidades concretas, específicas, y puede, en cambio, representar situaciones generales, válidas para amplios conjuntos numéricos.


El álgebra ha desarrollado formas de razonamiento que van más allá de las que presenta la aritmética y que se constituyen en poderosas herramientas, tanto para el propio avance del conocimiento matemático como para la aplicación de las matemáticas en otras disciplinas. Es asimismo una poderosa ayuda en la resolución de problemas del mundo en que nos movemos y del campo científico y tecnológico.


Por estas razones hemos querido entregar algunas consideraciones acerca de la enseñanza inicial del álgebra, basándonos en estudios e investigaciones realizadas en diversas universidades durante las dos o tres últimas décadas.


El primer tema que abordaremos se refiere al significado del signo igual. En entregas posteriores analizaremos otros aspectos especialmente relevantes de este tema. Pondremos a disposición de los docentes, asimismo, diversas actividades que pueden ayudar al estudiante a adquirir algunas ideas básicas del lenguaje algebraico y del pensamiento algebraico.


Acerca del significado del signo igual

El signo igual es uno de los primeros símbolos matemáticos que el estudiante conoce. Junto con los dígitos y los signos “+” y “-“ se introduce en los primeros años de la educación básica y a veces, incluso, en la educación parvularia,, . Temprano, el estudiante aprende a interpretar expresiones del tipo 1 + 3 = 4 o 2 – 1 = 1. Estas expresiones constituyen los primeros pasos en el conocimiento del lenguaje propio de la aritmética.


Durante el estudio de aritmética en los primeros grados escolares el signo igual aparece estrechamente ligado a las operaciones. En este campo, las expresiones matemáticas con que se enfrenta el estudiante con más frecuencia son del tipo:

3 + 9 = 12, 18 – 9 = 9, 4 · 5 = 20, 1 + 2 + 5 – 3 = 5, y similares.


La figura 1 ilustra la estructura que presentan estas igualdades.


Como muestra la figura 1, a la izquierda del signo igual hay una o más operaciones y a la derecha del signo igual se indica el resultado de dichas operaciones. El signo igual aparece, así, como el vínculo que une las operaciones con su resultado.


De acuerdo con esta concepción, el signo igual es una especie de “invitación al cálculo” o, si se quiere, equivale a la pregunta: ¿cuánto es el resultado de las operaciones que se indican a la izquierda del signo?


Los estudiantes en los que prevalece esta concepción del signo igual muestran una fuerte tendencia a leer una igualdad siempre de izquierda a derecha. Para ellos, la igualdad no es simétrica. Cada lado de la igualdad cumple su propia función. La función del lado izquierdo es presentar las operaciones que es necesario efectuar y la función del lado derecho es presentar el resultado de dichas operaciones.


Concebir el signo igual de acuerdo a la figura 1 permite resolver con éxito gran parte de los ejercicios numéricos que el estudiante encuentra durante su aprendizaje de aritmética en los primeros años escolares. Sin embargo, no entrega, por ejemplo, una interpretación adecuada para una igualdad del tipo 4 + 7 = 16 - 5


Esta concepción centrada en las operaciones, sin ser incorrecta en sentido estricto, es limitada y deja de lado la mayor parte de las igualdades que el estudiante deberá enfrentar más adelante en su estudio de Matemáticas.


Se debe avanzar a una concepción más amplia, más acorde con la forma en que las Matemáticas ven el signo igual y las igualdades en general. Esta nueva concepción se muestra esquemáticamente en el diagrama de la figura 2.

Bajo esta concepción, el signo igual expresa la relación que existe entre la expresión matemática que hay a su lado izquierdo y la expresión matemática que hay a su lado derecho. El signo igual afirma que la expresión matemática de la izquierda representa la misma cantidad que la expresión matemática de la derecha.


Esta concepción no pone el acento en las operaciones que pudiera haber en una u otra de las expresiones matemáticas que aparecen en la igualdad. Su atención se centra en la relación que existe entre el valor numérico de la expresión de la izquierda y el valor numérico de la expresión de la derecha.

Bajo la concepción representada en la figura 1, la igualdad 4 + 5 = 9 afirma que el resultado de la operación 4 + 5 es 9. Bajo la concepción de la figura 2, esa expresión afirma que las expresiones “4 + 5” y “9” representan el mismo valor. De acuerdo con esta concepción, no estamos hablando del resultado de una operación, sino que estamos hablando acerca de la relación que existe entre dos expresiones matemáticas.


Las igualdades son siempre simétricas: los dos lados de la igualdad son intercambiables sin que se modifique su significado.


En los últimos 30 a 40 años ha habido numerosos trabajos de investigación en torno a las concepciones que los estudiantes de los distintos niveles del sistema escolar tienen acerca del signo igual. Estas investigaciones concuerdan en que la mayoría de los estudiantes en todos los niveles de educación básica e incluso en la educación media visualiza el signo igual como un signo que une una operación con su resultado.


Así, por ejemplo, si se pide a los estudiantes que completen una expresión como

6 + 9 = … + 3 escribiendo en el espacio en blanco el número que hace que dicha igualdad sea verdadera, la mayoría de los estudiantes responde que el número que falta es 15, puesto que 6 + 9 = 15. Pero la expresión 6 + 9 = 15 + 3 es falsa ya que 6 + 9 es igual a 15 en tanto que 15 + 3 es igual a 18.


Esta concepción se muestra también en ejercicios en que se pide realizar sucesivamente dos o más operaciones. Por ejemplo, si se pide que a 8 se le sume 4 y al resultado se le sume 5, muchos estudiantes escriben: 8 + 4 = 12 + 5 = 17, sin tomar conciencia de que están afirmando que 8 + 4 es igual a 17.


La moraleja de todo esto es que el análisis y discusión del significado que debemos dar al signo igual en matemáticas tiene que ser parte integrante de los pasos iniciales en el estudio del álgebra.


En el artículo "Los primeros pasos en álgebra. Parte 2. El empleo de letras" conversamos acerca de otro punto que también suele causar problemas en los inicios del estudio de álgebra. Nos referimos al empleo de letras para representar números.


(Basado en el libro “El significado de signo igual”, volumen 1 de la serie “Primeros pasos en álgebra” de Héctor Muñoz, publicado por LOM Ediciones en 2011)

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