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Operaciones con sentido

Mucho más relevante que saber efectuar grandes cálculos es tener claridad acerca del significado de cada operación, en el sentido de poder distinguir qué tipo de situaciones en el mundo real pueden ser representadas por esta o aquella operación aritmética.



Las operaciones aritméticas son, sin lugar a duda, herramientas de enorme utilidad práctica tanto en la vida cotidiana como en el desempeño profesional. Hasta hace unas pocas décadas, la capacidad para realizarlas con papel y lápiz era una necesidad difícil de eludir. No es extraño que los procedimientos de cálculo escrito hubieran constituido entonces uno de los objetivos fundamentales en la enseñanza de las matemáticas a nivel escolar.


Permítanme un lejano recuerdo personal. En el liceo yo tuve que aprender a extraer raíz cuadrada de cualquier número. Es un procedimiento largo y engorroso. Por supuesto, nunca tuve necesidad de aplicarlo en los largos años transcurridos. No cabe duda de que el tiempo que en las clases de matemáticas dedicamos a aprender ese complicado algoritmo habría estado mucho mejor empleado, por ejemplo, en el desarrollo de formas de razonamiento matemático.


Más tarde en la universidad tuve que aprender a utilizar tablas de logaritmos para calcular multiplicaciones de números de hasta 5 cifras. El procedimiento es relativamente sencillo: basta buscar en las tablas el logaritmo de los números que se quiere multiplicar, sumar los respectivos logaritmos para encontrar el logaritmo del producto y finalmente buscar en las tablas a qué número corresponde el logaritmo encontrado. Sí, el procedimiento no es complicado, pero había que tener a mano una tabla que entregue el logaritmo de varios miles de números. La verdad es que en esos tiempos, si se requerían multiplicaciones complicadas, las tablas de logaritmos eran una buena tabla de salvación.


Hoy, la situación ha cambiado radicalmente. Existen numerosos instrumentos que efectúan operaciones aritméticas en fracción de segundos. Hasta los teléfonos celulares más simples tienen calculadoras con las que puedo realizar cálculos incluso con mayor precisión que con mis viejas tablas de logaritmos. Actualmente la habilidad para realizar cálculos en forma relativamente rápida y sin errores no constituye un objetivo de importancia.


Ahora son otros los objetivos relacionados con las operaciones que pasan a primer plano. Mucho más relevante que saber calcular es tener claridad acerca del significado de cada operación, en el sentido de poder distinguir qué tipo de situaciones en el mundo real pueden ser representadas por esta o aquella operación aritmética.


Consideremos, a modo de ejemplo, las posibilidades de aplicación de la adición. En una primera instancia, tal vez incluso antes del ingreso a la escuela, la adición se presenta como una operación que puede representar la acción de reunir dos conjuntos o de agregar elementos a un conjunto dado. Si bien ello es totalmente correcto para el caso de conjuntos de elementos discretos, cuando ampliamos el rango de situaciones debemos tener más cuidado. Consideremos, por ejemplo, el problema que muestra el recuadro.


Tenemos aquí una situación conocida: a una cierta cantidad inicial se agrega otra cantidad y se pregunta por la cantidad total. Es fácil ver que esta es una situación que puede ser representada por la adición 70 + 25. Como el resultado de esa adición es 95, podemos responder la pregunta afirmando que en el vaso de Isabel hay ahora 95 ml de agua.

Muy bien. Pero consideremos una nueva situación.


Estaremos de acuerdo en que la respuesta a la pregunta de este recuadro es: no. Esta situación no es representable mediante la adición 70 + 25 porque en el caso de una mezcla la temperatura no se comporta en la misma forma que el volumen. De hecho, al agregar agua a 25 °C la temperatura inicial de 70 °C no aumenta, sino que disminuye. De modo que hay que tener cuidado. Si cerramos los ojos y empezamos a sumar cada vez que aparezcan verbos como “agregar” o “reunir”, podemos sufrir más de alguna caída.


Este peligro es especialmente agudo cuando proponemos a los estudiantes una serie de “problemas de suma” todos los cuales se resuelven mediante una adición. Tenemos que desarrollar la habilidad para seleccionar, con pleno conocimiento de causa, las operaciones que realmente son una representación válida de la situación problemática en cuestión.


Asimismo, más importante que saber efectuar cálculos complicados es poder realizar cálculos aproximados que nos permitan tener una primera visión de cuánto podría ser el resultado de una operación. En gran parte de las situaciones cotidianas eso puede ser más que suficiente.


Así las cosas, debemos repensar los objetivos educacionales relativos a las operaciones aritméticas. Y ello debiera traer consigo necesariamente cambios en la enseñanza de las operaciones y también cambios en las estrategias de evaluación que utilicemos.


En este sentido, un aspecto de especial importancia es que, en el proceso de enseñanza, las operaciones se presenten principalmente en el marco de situaciones reales que tengan sentido para los alumnos y alumnas. Y permitiéndose el uso de instrumentos de cálculo.


Si queremos desarrollar una actitud positiva frente a las matemáticas, tendremos que plantear situaciones que resulten atractivas. Es el caso, por ejemplo, de situaciones cuya pregunta despierta la curiosidad del estudiante, es decir, que el estudiante quiera saber la respuesta. O situaciones cuyo resultado sorprende al estudiante y lo impulsa a querer saber más al respecto.


Posteriormente, en algunos artículos que publicaremos en este sitio web se entregan algunos ejemplos de situaciones que, junto con ejercitar la aplicación de operaciones, pueden despertar la curiosidad y el interés de los alumnos y alumnas. Invitamos a los y las colegas a leer esos artículos y a llevar a la práctica con sus educandos algunas de las sugerencias que allí se entregan. Les garantizamos que tendrán más de alguna experiencia especialmente motivante.

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