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Los primeros pasos en álgebra (Parte 2. El empleo de letras)

Una de las dificultades que encuentran los estudiantes al iniciar el estudio del álgebra es el uso de letras en expresiones en las que hasta aquí solo han utilizado números. Es un problema que debemos tener muy en cuenta en el proceso de enseñanza.



¿Por qué utilizar letras en las expresiones algebraicas?

En el artículo "Los primeros pasos en álgebra. Parte 1. El significado del signo igual" hablamos acerca del significado de signo igual. Comentamos entonces que una de las dificultades que encuentran muchos estudiantes al iniciar el estudio del álgebra tiene su origen en una concepción restringida del significado del signo igual.


Ahora hablaremos de otra de las dificultades que suelen encontrar los estudiantes en sus primeros pasos en el álgebra: el empleo de letras para representar números.


Para la mayor parte de los estudiantes que inician su estudio del álgebra, la principal novedad es el empleo de letras en expresiones que hasta aquí solo habían contenido números como forma de representar cantidades. Y en más de algún caso, esto puede significar un salto conceptual que remece la concepción que se habían ido formando acerca de las matemáticas.


No es raro, entonces, encontrar opiniones de estudiantes que manifiestan que para ellos el álgebra es difícil porque “los valores no están dados" y "no se sabe cómo encontrar la respuesta si no se conoce el valor de x o de y”.


Lo primero que habrá que tener en cuenta es que en álgebra una letra es un símbolo que se emplea para representar un número.



¿Por qué utilizar letras en lugar de números? Empleamos una letra en lugar un número por una de dos razones: o porque el número en cuestión es desconocido o porque el número representado puede ser uno cualquiera de un conjunto dado.

Veamos con mayor detalle cada una de estas dos posibilidades.


Letras que representan cantidades desconocidas.

Tal vez el caso más conocido de empleo de letras en álgebra es su uso en ecuaciones para representar una cantidad desconocida. Actualmente se acostumbra a designar las cantidades desconocidas con las últimas letras del alfabeto y utilizar las primeras letras para cantidades que se suponen conocidas o constantes. Esta tradición viene desde Descartes en el siglo XVII.


Como sabemos, es usual llamar incógnita a las cantidades desconocidas que se desea conocer. El procedimiento general para determinar el valor de una incógnita se inicia planteando una ecuación, que no es otra cosa que una igualdad que representa en términos algebraicos la condición que debe cumplir la incógnita. Luego se utilizan diversos procedimientos para determinar con qué número habría que reemplazar la incógnita de modo de satisfacer la igualdad.


Así, por ejemplo, la ecuación de la izquierda nos dice que se necesita encontrar un número tal que el doble de ese número menos 8 es igual a el mismo número más 2.


Es fácil ver que 10 es el número que cumple esa condición.


Ahora bien, si en la situación que estamos analizando interviene más de una incógnita, será necesario asignar letras distintas a cada incógnita y plantear tantas ecuaciones como incógnitas tengamos.


Letras que representan un número en general.

En numerosas situaciones resulta muy conveniente utilizar letras para representar un número en general, es decir, un número cualquiera de un conjunto dado. Por ejemplo, la conmutatividad de la adición puede representarse mediante la igualdad que muestra el recuadro.


Esta es una forma breve y clara de expresar la propiedad de la adición que nos dice que si a un número a cualquiera le sumo un número b cualquiera obtendré el mismo resultado que si al número b le sumo el número a. Aquí, tanto a como b pueden tomar cualquier valor, incluso más allá del conjunto de los números naturales, y la igualdad mantendrá su validez.


En esta situación no tenemos cantidades desconocidas que se quiere conocer. El valor que asignemos a cada letra es absolutamente arbitrario. Incluso, si se asigna un determinado valor a una de las letras, seguimos teniendo plena libertad para asignar el valor que queramos a la otra letra. Pero cuidado, a lo largo de una expresión una misma letra debe representar un mismo número. Si en el lado izquierdo de la igualdad le asigno a la letra a un cierto valor, en el lado derecho a esa letra debo asignar el mismo valor.


Letras en fórmulas

Un caso especial del uso de letras que representan un número en general es el empleo de letras en fórmulas para el cálculo de alguna magnitud. En el recuadro de la izquierda se reproducen las fórmulas para el cálculo del perímetro y para el cálculo del área de un rectángulo. En estas fórmulas, a y b representan la longitud de los lados del rectángulo, P representa la longitud de su perímetro y S representa el área del rectángulo.


En estas fórmulas podemos asignar cualquier valor a la longitud a y b de los lados del rectángulo. Pero, a diferencia del caso anterior, una vez asignado valores a la longitud de los lados, el perímetro P y el área S quedan determinados.


En cierto sentido puede pensarse que una fórmula es una especie de “receta” para calcular una magnitud. Expresa en lenguaje algebraico el procedimiento respectivo. Todo lo que hay que hacer es reemplazar las letras por sus valores y efectuar los cálculos que indica la fórmula. Hay que cuidar, eso sí, de ingresar los valores en las unidades que corresponda.


Los primeros pasos en un terreno desconocido

El uso de letras en las expresiones matemáticas constituye un aspecto esencial del lenguaje algebraico y su introducción a fines del siglo XVI significó un avance sustancial en el desarrollo de las matemáticas. La tarea que tenemos como educadores es lograr que nuestros estudiantes hagan suya esta poderosa herramienta matemática y puedan utilizar e interpretar con fluidez las expresiones algebraicas.


Al comenzar el estudio del álgebra, el empleo de letras en lugar de números suele desconcertar a muchos estudiantes. Para ellos una expresión aritmética como “3 + 5” tiene pleno sentido. Se trata de una adición que una vez resuelta da un resultado preciso e inequívoco: 8.


¿Pero qué puede significar la expresión “a + 5”? Nuevamente se trata de una adición, pero no se sabe a qué número hay que sumar 5 y, por lo tanto, no es posible obtener ningún resultado. Algo similar sucede con una expresión del tipo “pq”.


No debemos olvidar que los estudiantes en su estudio de la aritmética están acostumbrados a trabajar con números que representan cantidades bien definidas. Muchos estudiantes se han hecho la idea que lo que se espera de ellos es que resuelvan correctamente las operaciones que se les indican y entreguen un resultado que es un número bien definido. Encontrar ahora símbolos cuyo valor numérico se desconoce es en cierto modo sacar el suelo bajo sus pies.


Es importante, en este sentido, presentar casos en que usamos letras para representar números y comentar la razón y las ventajas de usar letras en cada uno de esos casos.


A lo anterior se agrega que en el lenguaje algebraico aparecen algunas convenciones nuevas. Para representar una multiplicación, por ejemplo, podemos prescindir del signo que indica esa operación. En el lenguaje de la aritmética que los estudiantes conocían hasta aquí, pera expresar la multiplicación de dos números debemos intercalar entre ellos el signo de multiplicación (un punto elevado o una cruz). El doble de 15 y la multiplicación de 45 por 80 se representan así:

2 ∙ 15 45 ∙ 80


En álgebra, el doble de a y la multiplicación de a por b pueden representarse igual que en aritmética utilizando el signo de multiplicación, pero también podemos prescindir de ese signo:

2a ab


El inicio del álgebra requiere, por lo tanto, de un cambio en la propia concepción que el estudiante tiene del quehacer matemático. La introducción del lenguaje algebraico, especialmente en lo relativo al empleo de letras para representar números, debe efectuarse en forma paulatina cuidando en todo momento que el estudiante conciba las letras no como un nuevo problema o algo difícil de comprender, sino como una ayuda que facilita la interpretación y el uso de expresiones matemáticas.


(Basado en el libro “Iniciación al empleo de letras en expresiones algebraicas”, volumen 2 de la serie “Primeros pasos en álgebra” de Héctor Muñoz, publicado por LOM Ediciones en 2011)

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