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La resolución de problemas (Parte 3)


Aquí se completan los pasos del procedimiento planteado en los artículos anteriores para resolver situaciones problemáticas. Para ello se propone un conjunto de problemas en los que se pone el énfasis en la resolución de la herramienta matemática seleccionada para dar respuesta a la situación real, la interpretación y validez del resultado obtenido y qué nuevas situaciones problemáticas surgen a partir del mismo.


En el artículo“La resolución de problemas matemáticos. Parte 1” se presentó un modelo general del proceso de resolución de problemas con ayuda de las matemáticas. Luego, en el artículo "Resolución de problemas. Parte 2", se mostraron ejemplos de actividades que pueden ayudar al aprendizaje de aquellos aspectos del proceso que se relacionan con la comprensión del problema, en que se incluía el determinar de qué se trata el problema, cuál es la pregunta que se debe responder, cuál o cuáles son los datos que permiten responder la pregunta y qué operación matemáticas habría que hacer para encontrar la solución.


Corresponde ahora poner el énfasis en aquellos pasos que dicen relación con transformar el problema real, expresado en el lenguaje cotidiano, en un problema en el que se emplee un lenguaje matemático, para luego resolver la expresión matemática elegida, interpretar el resultado obtenido y determinar si efectivamente da respuesta a la pregunta formulada.

Ello implica, en primer lugar, determinar qué herramientas matemáticas podemos emplear –operaciones aritméticas, figuras geométricas, expresiones algebraicas u otras– para transformar el problema real en un problema puramente matemático. Luego, según sea el caso, habrá que efectuar los cálculos de las operaciones aritméticas correspondientes, resolver las ecuaciones que se hayan planteado, buscar relaciones entre los distintos elementos de las figuras geométricas. Una vez resuelto el problema matemático, debemos interpretar el resultado obtenido y determinar si dice relación con la situación planteada, si se ajusta a la realidad. Es decir, dar cuenta de su validez.


Los pasos señalados –encontrar la operación, resolverla, interpretarla y evaluarla en función de la situación real– pueden ser tratados independientemente, sin embargo, en esta oportunidad se plantearán problemas en los que en algunos casos se pondrá énfasis en uno u otro de los pasos indicados, pero en todos ellos se llegará al resultado final, responder la pregunta formulada.


En las situaciones problemáticas que se plantean más adelante, son suficientes las cuatro operaciones aritméticas básicas: adición, sustracción, multiplicación o división.

a. Representar una situación del mundo real mediante expresiones matemáticas

Un aspecto especialmente importante al comenzar a resolver problemas es que los estudiantes puedan reconocer que una situación del mundo real puede ser representada por una expresión matemática. A continuación, damos algunos ejemplos simples referidos a este punto.


En cada uno de los casos, habrá que explicar a los niños y niñas que la tarea consiste en marcar la operación matemática que representa lo que se expresa verbalmente.


La expresión correcta es obviamente 6 + 2 = 8, ya que se agregaron dos cucharadas más a las que María ya había echado.


Es importante insistir en lo que representa cada elemento en esta expresión:

  • ¿Qué representa el 6?

  • ¿Y el 2?

  • ¿Por qué hay un signo +?

  • ¿Qué representa el 8?

  • ¿Qué indica el signo =?


Aquí la expresión matemática que expresa lo ocurrido es 4 – 2 = 2. Es decir, Marcos disminuyó en 2 horas el tiempo que veía televisión.


Nuevamente es importante insistir en lo que representa cada elemento en la expresión:

  • ¿Qué representa el 4?

  • ¿Por qué tiene un signo – la expresión?

  • ¿Qué representa el 2 que hay después del signo =?

  • ¿Qué representa el 2 que hay antes del signo =?


La expresión matemática que refleja lo sucedido es 12 – 2 = 10. Esta expresión nos dice que había 12 huevos en la caja, pero 2 de ellos estaban quebrados. Por lo tanto, en la caja sólo había 10 huevos enteros.


Hemos dicho ya que expresar matemáticamente una situación de la vida real es un paso muy importante en el proceso de resolución de problemas. En este ejemplo puede ser útil preguntar en qué caso la expresión 12 + 2 = 14 podría ser la expresión adecuada.


Por supuesto, no hay una sola respuesta. Una posibilidad es que la señora Juana cuando llegó con la caja de 12 huevos constató que en su cocina todavía quedaban 2 huevos de una compra anterior.


La expresión correcta es 10 – 4 = 6. En este ejemplo, la interpretación no es tan directa como en los casos anteriores. La temperatura llegó a 10°C. Pero la temperatura inicial era de 4°C. La sustracción 10 – 4 representa la variación de temperatura. La sustracción indicada nos dice entonces que ese día hubo una variación de temperatura de 6°C.


La expresión correcta es 4 + 8 = 12. El 4 representa al mes de abril. A partir de allí el alimento dura 8 meses. De modo que su duración se extiende hasta el mes número 12, que es el mes de diciembre.


Este ejemplo puede dar pie para conversar acerca de la necesidad de fijarse en la fecha de duración de un alimento o medicamento y acerca de las posibles consecuencias de consumirlo después de esa fecha.


b. Determinar cuál es la operación adecuada, resolverla e interpretarla

En los ejemplos que siguen, la primera tarea es leer y formularse preguntas para comprender el problema. Luego, de entre las operaciones dadas, elegir la más adecuada para responder la pregunta, resolver la operación, asegurarse de que el resultado es coherente con la situación dada y comentar dicho resultado con los compañeros y compañeras.


La operación adecuada es 1961 + 8, pues el viaje de Armstrong tuvo lugar 8 años después del viaje de Gagarin. El resultado de dicha operación es 1969, lo que significa que el viaje de Armstrong se realizó en el año 1969.


Conviene hacer notar que la tercera operación propuesta no tiene sentido, ya que en toda adición o sustracción las cantidades que intervienen deben estar expresadas en la misma unidad, lo que no ocurre en este caso.



Este problema tiene más de un camino de solución. Tomando eso en cuenta, cuatro de las seis operaciones indicadas entregan información útil para resolver el problema.


La adición 6 + 4 = 10 permite saber cuántos corredores en total abandonaron la carrera y, por lo tanto, no llegaron a la meta. Luego la sustracción 24 – 10 = 14 nos da el total de corredores que completaron la carrera.


Otra posibilidad es ir parte por parte. Primero, la operación 24 – 6 = 18 indica cuántos corredores seguían en carrera al completar la mitad del trayecto.

Después, la sustracción 18 – 4 = 14 nos entrega el resultado final.

Ambos procedimientos son correctos y, por supuesto, ambos deben dar el mismo resultado.


En esta situación cualquiera de las operaciones indicadas es correcta: la adición 11 + 11 = 22 y la multiplicación 11 x 2 = 22. Como sabemos, en el conjunto de los números naturales la multiplicación es equivalente a una suma reiterada en que uno de los factores indica el sumando que se repite y el otro factor indica el número de veces que dicho sumando se repite.


Nuevamente, es conveniente señalar que muchos problemas pueden resolverse de más de una manera.


En este ejemplo, dos de las operaciones propuestas entregan información que está relacionada con la situación. En efecto, la adición 100 + 10 = 110 nos dice hasta qué página llegó hoy Rodrigo. Por su parte, la sustracción 320 – 100 = 220 nos dice cuántas páginas le quedan aún por leer. Sin embargo, esta última información no es lo que se está preguntando.


Conviene destacar este hecho para que los estudiantes vean lo importante que es, antes de proceder a efectuar cálculos con las distintas cantidades que se mencionan en el problema, tener muy claro la pregunta a la que hay que dar respuesta.


En este ejemplo, se proponen dos multiplicaciones como forma de resolver el problema. En la primera de ellas, los dos factores son números que aparecen explícitamente en el enunciado, pero uno de ellos (el 5) no tiene ninguna relación con la pregunta del problema.


En la otra multiplicación, uno de los factores (el 7) no está mencionado en el enunciado, pero sí tiene directa relación con la pregunta. Esto debería quedar claro en la etapa de comprensión del problema, pues lo que se pide determinar es el consumo en una semana, es decir, en 7 días. Se supone conocido el número de días que tiene una semana. En consecuencia, la operación 900 ∙ 7 = 6300 nos dirá que en la semana esta familia consume 6.300 litros de agua.


En problemas similares a este, es común que algunos estudiantes cometan errores por tener una visión incorrecta acerca del proceso de resolución de problemas y crean que este proceso consiste simplemente en efectuar operaciones con los datos dados y que, por lo tanto, lo único que hay que averiguar es cuál es la operación que hay que realizar.


La operación a utilizar es 600.000 : 1.000 = 600 que nos indica que cada número deberá venderse a $600 para así obtener la cantidad de dinero que se desea.


En todo caso, también es interesante contrastar este resultado con el obtenido por la división 600.000 : 40 = 15.000 que se puede interpretar en el sentido que cada alumno y alumna debería reunir $15.000 para alcanzar los $600.000.

A su vez, la división 1.000 : 40 = 25 nos dice que cada alumno o alumna deberá vender 25 números.

Sin embargo, la información entregada por estas operaciones no nos permite responder la pregunta planteada.


c. Interpretar el resultado de una operación en el contexto de la situación planteada

En los ejemplos que siguen, la tarea es, en primer lugar, leer la situación planteada, comprender de qué se trata, identificar cuáles son los datos que se proporcionan. Luego, determinar cuál o cuáles de las operaciones resueltas que se proporcionan dan información relacionada con la situación planteada y comentarla con sus compañeros y compañeras.


En este caso, la operación que entrega información relacionada con la situación es la división 24 : 6 = 4. Su resultado permite saber que se necesitan 4 carpas que para albergar a los 24 niños.


En este caso las dos operaciones entregan información. Al interpretar el resultado de la primera sustracción podemos saber que la parte del Lago General Carrera que pertenece a Argentina tiene una superficie de 872 km2.


Y al interpretar el resultado de la segunda sustracción podemos decir que la parte chilena del lago General Carrera es 118 km2 más extensa que todo el lago Llanquihue.


En este caso, dos de las operaciones entregan información relacionada con la situación. La multiplicación 6 ∙ 3 = 18 indica que el edificio nuevo tiene 18 departamentos en total. A su vez, la operación 74 – 14 = 60 permite saber que en el edificio viven ahora 60 personas más que las que habitaban en las 4 casas originales.


Es probable que algunos estudiantes opinen que la adición 74 + 14 = 88 indica la cantidad de personas que ahora viven en el espacio que antes ocupaban las 4 casas, pensando que las 14 personas que habitaban las casas aún están ahí. Pero, como indica el enunciado, esas personas ya no viven en sus antiguas casas porque éstas fueron demolidas.


De acuerdo con la información dada, las tres operaciones entregan información.

El resultado de la primera operación 1971 – 1904 = 67 nos informa que Pablo Neruda recibió el Premio Nobel a los 67 años.

El resultado de la segunda operación nos dice que Pablo Neruda falleció a los 69 años.

Y la tercera operación 1973 – 1971 = 2 nos informa que Pablo Neruda falleció 2 años después de recibir el Premio Nobel de Literatura.


d. Otras dos facetas del modelo de resolución de problemas

En el modelo de resolución de problemas que se presentó en el artículo “La resolución de problemas. Parte 1” se mencionan dos complementos que conviene considerar al enfrentar una situación problemática. Uno de ellos se refiere a aquellos casos en que, al intentar resolver un problema, se llegue a la conclusión que no se tienen los conocimientos matemáticos necesarios. En tal caso surge la necesidad de ampliar los conocimientos matemáticos que se poseen.



Si los estudiantes aún no conocen las fracciones no podrán resolver el problema. Es decir, enfrentados a esta situación se requiere tener conocimientos matemáticos nuevos para dar respuesta a la pregunta formulada. Específicamente, necesitan incorporar a sus conocimientos matemáticos el concepto de fracción.


El otro complemento a que aludíamos se refiere a la posibilidad de plantear nuevas preguntas a partir de los resultados obtenidos. Hay que destacar que esto no siempre es posible y a veces, cuando es posible, no resulta relevante. Pero en no pocos casos, los resultados obtenidos sugieren interesantes nuevas preguntas que pueden enriquecer la situación y abrir nuevas perspectivas.


De acuerdo con la informacióndada, la señora Isidora ocupa 45 minutos en el traslado hasta el lugar de trabajo y llega allí con 15 minutos de adelanto. Es decir, desde el momento en que sale de casa hasta que empieza a trabajar transcurre una hora. De modo que su horario de trabajo empieza a las 9 de la mañana.


Eso responde la pregunta planteada, pero el enunciado contiene información que permite plantear nuevas interrogantes. Por ejemplo, podemos saber a qué hora termina su jornada laboral o cuántas horas semanales trabaja, descontando el tiempo de colación.


Así completamos el trío de artículos que hemos dedicado al aprendizaje del proceso de resolución de problemas con ayuda de las matemáticas.

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