• mateyciencia

Algunas consideraciones acerca de la enseñanza de matemáticas

A veces conviene hacer un alto en el camino y mirar hacia adelante, reconsiderar hacia dónde queremos ir y reevaluar si lo que estamos haciendo nos conduce en la dirección correcta. Aquí hemos querido subrayar un par de ideas que creemos pueden ser de utilidad en esa tarea.


En este artículo hemos querido enumerar algunos de los principales aspectos que, a nuestro juicio, es necesario tomar en cuenta en el proceso de enseñanza de las matemáticas de modo que los niños y niñas puedan asimilar aquellos aspectos propios de esta área que les permita profundizar el conocimiento de sí mismos, del mundo social y natural en el que se desarrollan y poder actuar en todos estos campos en forma consciente y creadora.



Un aprendizaje con consecuencias a largo plazo

En un artículo anterior ̶ El apoyo del hogar ̶ mencionábamos una investigación realizada en Canadá a lo largo de 35 años y que mostró que las habilidades de matemáticas y de lenguaje que presentaban los niños y niñas a la edad de 7 años estaban claramente relacionadas con el nivel socioeconómico que alcanzaron a la edad de 42 años, independientemente del nivel socioeconómico que ellos tenían al momento de nacer. Y, por supuesto, son muchos los estudios que llegan a resultados similares. Si realmente tomamos en serio lo que nos dicen estos estudios, debemos llegar a la conclusión que, como educadores, estamos trabajando no tanto para alumnas y alumnos de hoy sino para mujeres y hombres de mañana y pasado mañana.



Desde tempranito

En la etapa preescolar, los niños y niñas están especialmente interesados en conocer cosas nuevas y tienen plenas condiciones de aprender. Son variadas las actividades que se pueden realizar en aspectos básicos de las matemáticas, tales como dar los primeros pasos en el conocimiento de los números y de algunas de sus propiedades, en el conteo, en la resolución de problemas, en la caracterización de formas geométricas, entre otras. Así se facilitará la creación de una base sólida que favorezca el logro de aprendizajes en los años de estudio posteriores.

En nuestros artículos “Enseñanza de matemáticas a nivel de la educación parvularia”, “¿Adición y sustracción en la Educación Parvularia? Parte 1” y “¿Adición y sustracción en la Educación Parvularia? Parte 2” hemos desarrollado algunos aspectos relativos a este tema.



Ojo con lo esencial

La enseñanza de los conceptos no se agota con el simple aprendizaje de la definición. Todo concepto, especialmente los más fundamentales, poseen una amplia gama de propiedades que se van aprendiendo paso a paso. En cada etapa de la formación de un concepto es importante distinguir cuáles son las propiedades esenciales que deben ir quedando claras, cuál es su campo de aplicación y cuáles son sus relaciones con otros conceptos. La concentración en lo esencial, en lo determinante, y no solo en lo común o general de un concepto, es una de las reglas más importantes de la didáctica contemporánea. Todos los esfuerzos que se hagan para centrar la atención sobre los aspectos esenciales de un concepto o de un tema, serán bien recompensados por una mejor calidad del aprendizaje.



El aprendizaje de conceptos no es un fin en sí mismo

No podemos olvidar en ningún momento que los conocimientos que no pueden ser aplicados se hacen inertes, pierden todo sentido. Esto implica que al enseñar un concepto no solo debemos prestar atención a la asimilación de sus propiedades, sino que también debemos tener muy presente sus posibilidades de aplicación. En tal sentido hay que considerar no solo los campos de posibles aplicaciones sino también es necesario desarrollar la habilidad para aplicar el concepto en forma flexible y creativa. Y eso implica prestar atención al conjunto de procedimientos que permiten su aplicación.


Con frecuencia vemos que la aplicación de los conceptos suele considerarse un aspecto secundario y, la mayor parte de las veces, sólo se proporciona a los estudiantes unos pocos ejemplos o se espera que ellos encuentren la forma de aplicar el concepto a cada caso particular.


La enseñanza de procedimientos de aplicación de los conceptos, especialmente de aquellos que son fundamentales en un campo de estudio, debe estar explícitamente incorporada en la planificación anual o semestral y debe ser un contenido insoslayable en todo material destinado a apoyar el proceso de enseñanza.



La resolución de problemas es un objetivo prioritario de la educación matemática

Hemos dedicado tres artículos específicamente al papel de la resolución de problemas en la educación matemática y al proceso de su enseñanza: "La resolución de problemas (Parte 1)", "La resolución de problemas (Parte 2)" y "La resolución de problemas (Parte 3)". Allí destacamos que le resolución de problemas debe ser un contenido de todos los niveles de educación y que hay que enseñar en forma sistemática. Lamentablemente con demasiada frecuencia no se enseñan procedimientos generales de resolución de problemas, sino que se dan unos pocos ejemplos y se espera que los estudiantes encuentren por sí solos procedimientos de resolución con el peligro que los procedimientos encontrados pequen de ser demasiado restringidos o, incluso, abiertamente erróneos.



La resolución de problemas como búsqueda de información nueva

Con ayuda del pensamiento lógico podemos inferir información desconocida a partir de información ya conocida. El desarrollo del pensamiento lógico en los niños y niñas pasa, entonces, por la toma de conciencia de que resolver una situación problemática con ayuda de las matemáticas implica llegar a saber lo que no se sabía, implica aumentar el conocimiento mediante el razonamiento.


De lo anterior surge la necesidad de acentuar el énfasis en el planteamiento de situaciones problemáticas en las que los educandos aprendan a formularse preguntas, a diseñar estrategias de resolución y a interpretar los resultados obtenidos.

Con frecuencia observamos que la resolución de problemas se emplea principalmente para ejercitar los procedimientos de cálculo de esta o aquella operación aritmética. Es necesario invertir esta situación y poner la operatoria al servicio de la resolución de problemas. Después de todo, ese es precisamente el objetivo de la operatoria: entregar herramientas que permitan llegar a la solución de determinado tipo de problemas.


Asimismo, las actividades de resolución de problemas no deberían centrarse tan sólo en la búsqueda de soluciones, sino que resulta interesante también subrayar el análisis crítico de la estrategia seguida: ¿cómo se resolvió el problema?, ¿qué otros problemas similares podrían resolverse mediante la misma estrategia?, ¿qué otras estrategias permitirían resolver el mismo problema? De igual forma, se hace cada vez más importante desarrollar en los alumnos y alumnas la habilidad para optimizar una estrategia de resolución de un problema lo que implica responder preguntas tales como: ¿es la estrategia seguida la más eficiente para resolver el problema?, ¿pudo haberse hecho en menos tiempo o con un menor número de pasos?, etc.


Ahora bien, para que la tarea de resolver problemas tenga sentido y cumpla objetivos como los que hemos señalado hay que tratar, en la medida de lo posible, que las situaciones planteadas puedan conducir a la obtención de un conocimiento interesante, actual, ligado a la realidad y especialmente acorde a los intereses y a las capacidades de quienes deben resolverlo.



Más razonamiento y menos operatoria

En relación con el punto anterior, hay que tener en cuenta que en la enseñanza de aritmética es necesario poner el énfasis especialmente en el desarrollo de estructuras lógicas de pensamiento por sobre la mecanización de la operatoria de cálculo. Así, por ejemplo, en el caso de la división debemos desarrollar la habilidad para reconocer cuándo se debe dividir o qué interpretación dar al resultado que se obtiene al hacer una división. Y eso es más importante que desarrollar la capacidad para dividir un número por otro.


Después de todo una calculadora puede efectuar los cálculos que necesitemos, pero ninguna calculadora nos reemplazará en el momento de seleccionar cuáles operaciones son las indicadas y en qué momento hay que emplearlas.



La tarea central en geometría

En el ámbito de la geometría, la tarea central debería estar en el desarrollo de la imaginación espacial, en la capacidad para establecer relaciones entre los elementos de figuras geométricas, en el análisis de situaciones concretas con ayuda de conceptos geométricos. La memorización de términos y definiciones no deben ser el centro de la enseñanza de geometría ya que hoy es muy fácil tener acceso a ellos con ayuda de elementos tecnológicos. Hay que evitar reducir la geometría a un estudio de figuras dibujadas en un papel. Hay que mostrar que estas figuras son representaciones esquemáticas de relaciones que existen en el espacio, relaciones que se verifican en nuestro entorno espacial.



Ojo con los conocimientos previos

Cuando estamos tratando un determinado tema, especialmente si se trata de un tema relativamente nuevo, es fundamental tener presente los conocimientos y experiencias anteriores de los estudiantes. La psicología del aprendizaje desde hace ya varias décadas ha puesto mucho énfasis en la importancia que tienen para cada nuevo aprendizaje los conocimientos que los estudiantes ya poseen. Estos conocimientos anteriores pueden provenir de otros campos de la misma asignatura o de experiencias de fuera de la sala de clases. Al estructurar una enseñanza sin tomar en cuenta este principio, se establece en los alumnos y alumnas una disociación entre lo que ya sabía y los nuevos contenidos o entre la matemática que aprende en la sala de clases y la matemática que observa y emplea en la vida real.


Sabemos que la introducción de las fracciones o de los números decimales genera bastantes problemas en los estudiantes. Una de las razones es que varias propiedades fundamentales de los números naturales dejan de tener validez en estos otros conjuntos numéricos. Así, por ejemplo, los alumnos y alumnas saben que todo número natural tiene un sucesor. Eso los lleva a pensar que lo mismo debería pasar en las fracciones o en los decimales: ¿el sucesor de 1/4 es 1/5?, ¿el sucesor de 0,7 es 0,8? Algo similar sucede con algunas operaciones: a algunos estudiantes les resulta difícil comprender, por ejemplo, que el resultado de 8 : 0,5 es mayor que 8, o que el cuadrado de 0,2 no es 0,4 sino que 0,04.



La tecnología debe ser una ayuda, no un peligro

Es necesario poner a tono los contenidos y métodos de enseñanza que hoy se emplean en la mayoría de las escuelas con el desarrollo científico y tecnológico en que vivimos. Conviene tratar de sacar el mayor partido a elementos y medios que ha desarrollado la tecnología como la calculadora, el computador, la robótica, el correo electrónico.


Estos elementos son parte de la vida diaria de los estudiantes de hoy. Ellos les permiten desarrollar su capacidad de pensar y crear elementos impensados para quienes nos formamos en el pasado. El celular o el computador permiten obtener información en forma rápida sobre situaciones que podrían ser base para problemas interesantes y reales, la calculadora permite efectuar operaciones con los números que encontramos en la vida real y no solo con números pequeños con los que podamos efectuar fácilmente cálculos a mano, el correo electrónico permite un intercambio de información con una rapidez sin precedentes. Hay que poner estos elementos tecnológicos al servicio del proceso de enseñanza..



Los cambios en la sociedad deben traer cambios en la enseñanza

La sociedad actual plantea a los niños y niñas y a los jóvenes en general nuevos problemas y exigencias cuya solución implica el manejo de conocimientos y habilidades que el sistema educacional en su conjunto debería considerar. Por ejemplo, los problemas relacionados con el consumo en general, el cuidado de la salud, el empleo de los medios de comunicación, la protección y cuidado del medio ambiente, entre otros.


La matemática es una ciencia que, por su estructura, puede desarrollar en los estudiantes un estilo lógico y reflexivo de pensamiento. En la medida en que los problemas sean enfocados desde esa perspectiva, se crean condiciones para el desarrollo de una actitud racional y para la búsqueda de soluciones que tomen en cuenta, en lo posible, todos los factores en juego. En el análisis matemático de situaciones reales, el estudiante se enfrenta a situaciones en las que debe tomar decisiones y adquiere conciencia de la necesidad de buscar caminos alternativos de solución y considerar las consecuencias que puede acarrear cada una de las opciones en juego.



Los sentimientos y emociones son parte del proceso de aprendizaje

Toda conducta y, en especial, todo aprendizaje, está en relación directa con los sentimientos y estados emocionales de las personas. Ningún aprendizaje es emocionalmente neutro. Ello implica que, si queremos que nuestros alumnos y alumnas logren los aprendizajes esperados, la relación afectiva con quienes imparten la tarea de enseñar y la comunidad educativa en general, es un elemento que debe ser tomado seriamente en cuenta, ya que bien puede favorecer o entorpecer dichos aprendizajes.


Todo estudiante debe sentir que se le estima, respeta y valora aun cuando presente dificultades de aprendizaje o tenga una conducta diferente a la que quisiéramos.

Lo anterior es especialmente importante en el caso de las matemáticas, ya que un alto porcentaje de la población manifiesta haber sentido desagrado cuando debía estudiar matemáticas, desagrado que muchas veces se trasmite de padres a hijos.



El papel de la actividad

Es importante tomar en consideración que el conocimiento no puede ser trasmitido como un mensaje, sino que se debe generar, crear, desarrollar, construir en la mente de cada individuo. En tal sentido es necesario tener presente que el alumno o alumna aprende sobre la base de su propia actividad.


La actividad constituye la base para el proceso de aprendizaje. Por lo tanto, si queremos que los estudiantes aprendan algo, hay que diseñar actividades que produzcan los efectos de aprendizaje deseados. Ello implica conocer y manejar el lenguaje, los intereses, los niveles de desarrollo, las estrategias de razonamiento y otras variables que son propias de los alumnos y alumnas para los cuales están destinadas tales actividades.



El papel de la interacción social

En la planificación de las actividades de aprendizaje es conveniente contemplar tanto actividades a ser realizadas por cada alumno en forma individual como actividades que propicien el trabajo en grupo.


En la interacción social los estudiantes aprenden a regular sus procesos cognitivos, los ponen a prueba, los confrontan con los de sus compañeros y compañeras, los modifican y ajustan a la realidad. Así también, van desarrollando el respeto por el otro, la tolerancia, la solidaridad y el reconocimiento que el trabajo en equipo permite logros que no serían posible si se actúa en forma aislada.


Al respecto es importante señalar que no basta con colocar a los niños y niñas uno al lado del otro y permitirles que interactúen para obtener automáticamente efectos favorables en el aprendizaje. El elemento decisivo no es la cantidad de interacción, sino su naturaleza. Se trata de vivir interacciones sociales de carácter cognitivo que conduzcan a aprendizajes que digan relación con los intereses, necesidades y capacidades de quienes interactúan.



El papel de la evaluación

La evaluación debe ser considerada una parte importante del proceso de enseñanza. Su principal objetivo es, por una parte, conocer los avances de los alumnos y alumnas en sus procesos de aprendizaje y de formación en general y proporcionarles la retroalimentación correspondiente, y por otra, orientar el trabajo de los docentes en una dirección acorde a las necesidades reales y a las potencialidades de sus educandos. En el artículo “La evaluación como parte del proceso de enseñanza“ desarrollamos algunas ideas en esta dirección.


Además, y a esto no siempre se le da la importancia que merece, la evaluación debe ser considerada como una actividad de aprendizaje, ya que involucrarse en responder las preguntas, resolver los problemas o desarrollar las tareas que se piden en los procesos de evaluación requiere no solo evocar los conocimientos y habilidades que se poseen. También exige, si diseñamos adecuadamente la actividad de evaluación, una reconsideración y una reestructuración de estos conocimientos.

Nuevos requerimientos para la enseñanza


Finalmente quisiéramos hacer un par de reflexiones acerca de los cambios en los procesos de enseñanza que se deberían producir como resultado de los cambios que se producen en la sociedad.

El desarrollo de la ciencia, la técnica y la sociedad en su conjunto se realiza con una rapidez cada vez mayor. Los cambios en el medio ambiente en que vivimos nos están obligando a cambiar aspectos de nuestras vidas que por años y años resultaban ser los más adecuados y por ello los trasmitíamos de generación en generación. Esto de que “cambia, todo cambia” es una realidad que a los educadores nos golpea con mayor fuerza ya que nuestra principal tarea es preparar a nuestros alumnos y alumnas para su vida futura.


Por otra parte, hay que tener presente que nuestros alumnos y alumnas no son los de antes, tienen otros intereses y necesidades y la gran mayoría dispone de un conjunto de nuevos elementos que les permite tener acceso a información a través de la cual pueden ampliar su visión del mundo y por ende, necesitan algo diferente a lo que tradicionalmente se ha considerado lo adecuado.


Hoy en día el énfasis está puesto en entregar una educación de calidad, y ello nos plantea preguntas tales como:

¿cuál es la educación de calidad que permitirá que nuestros alumnos y alumnas estén preparados para vivir en un mundo, gran parte de cuyos rasgos esenciales desconocemos?,

¿qué contenidos deben estar presentes en ella?,

¿cuál es la metodología que se debe utilizar para lograrla?


Las respuestas a estas preguntas, por cierto, no son simples. Sólo podemos señalar que para enfrentarlas con alguna probabilidad de éxito será necesario introducir grandes transformaciones en las orientaciones fundamentales del proceso educativo.


Algunos aspectos que a nuestro juicio podrían ayudarnos es pensar que cada una de las asignaturas o actividades extraprogramáticas que se desarrollan en el sistema educativo deberían aportar a la formación de una juventud que esté en condiciones de:

  • percibir y evaluar los cambios que ocurren a su alrededor,

  • asimilar creativamente dichos cambios,

  • enfrentar situaciones nuevas en forma rápida y exitosa,

  • desarrollar por sí solos sus potencialidades,

  • promover nuevos cambios actuando en forma consciente, autónoma y creadora.

La matemática es, por cierto, una disciplina que tiene bastante que aportar en el logro de estos puntos.


Por último, cabe señalar que la extraordinaria complejidad que ha adquirido la labor docente impone hoy en día la necesidad de una intercomunicación muy estrecha, especialmente entre quienes elaboran los programas de estudio, diseñan estrategias de enseñanza y elaboran materiales de apoyo, por un lado, y aquellos que aplican dichas estrategias en la sala de clases.


Los elaboradores de los programas, quienes diseñan estrategias de enseñanza y materiales de apoyo deben interactuar con los docentes de aula, intercambiar sus conocimientos y experiencias, así como conocer las características de los estudiantes y las condiciones en las cuales se lleva a cabo la tarea docente. De este modo la tarea que ellos realizan se nutrirá no sólo de los conocimientos teóricos que tienen en cada materia sino también de la práctica concreta del quehacer docente.


A nuestro juicio, el trabajo en equipo deberá caracterizar y ser una constante permanente en el desarrollo del proceso educativo en todos los niveles.

Logo Mate y ciencia.png